คณิตศาสตร์

วันอาทิตย์ที่ 9 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2557

ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน f จากข้อมูลนำเข้าในเซต X ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต Y (เขียนเป็น $f:X\rightarrow Y$ ) คือความสัมพันธ์ ระหว่าง X กับ Y ซึ่ง

สำหรับทุกค่า x ใน X จะมี y ใน Y ซึ่ง x f y (x มีความสัมพันธ์ f กับ y) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน Y อย่างน้อย 1 ผลลัพธ์เสมอ
ถ้า x f y และ x f z แล้ว y = z นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่านำเข้า x แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ y จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย f (x)

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y คือเซตย่อย f ของผลคูณคาร์ทีเซียน $X\times Y$ โดยที่แต่ละค่าของ xใน X จะมี y ใน Y ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ (x, y) อยู่ใน f

เซตของฟังก์ชัน $f:X\rightarrow Y$ ทุกฟังก์ชันแทนด้วย Y^X สังเกตว่า |Y^X| = |Y|^|X| (อ้างถึง จำนวนเชิงการนับ)

ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือฟังก์ชันหลายค่า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือฟังก์ชันบางส่วน ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างต่อไปนี้

สมาชิก 3 ใน X สัมพันธ์กับ b และ c ใน Y ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน อ่านเพิ่มเติม